第二十二章一元二次方程小结

第二十二章一元二次方程小结 | 楼主 | 2017-12-11 21:39:25 共有3个回复
  1. 1第二十二章一元二次方程小结
  2. 2第二十二章 一元二次方程 小结与复习
  3. 3第二十一章 一元二次方程单元小结

第二十二章一元二次方程小结本章知识结构框图,将左端的二次三项式分解为两个一次因式的积,用直接开平方法解变形后的方程,应用配方法可导出一元二次方程的求根公式,当时将及的值代入球根公式得出方程的根当时原方程无实数解。

第二十二章一元二次方程小结2017-12-11 21:39:04 | #1楼回目录

第二十二章 一元二次方程 小结 Ⅰ、本章知识结构框图:

Ⅱ、本章知识点:

1、一元二次方程的定义及一般形式:

只含有一个未知数、并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

一元二次方程的一般形式是:ax+bx+c=0(a≠0),其中ax叫做二次项,a叫做二次项系数,b叫做一次项系数,c叫做常数项。

注意:(1)一般形式中,b、c可以是任何实数;二次项系数a是不等于0的实数,这是因为a等于0,方程就不是二次方程了; (2)要确认一元二次方程的各项系数,必须先将此方程化简整理成一般形式,然后再确定a、b、c,同时不要漏掉符号。 2、一元二次方程的解:

能使一元二次方程左右两边的未知数的值叫做一元二次方程的解(或根)。

3、一元二次方程的四种解法:

解一元二次方程常用的方法有:开平方法,配方法,公式法和因式分解法。其中开平方法和因式分解法是特殊解法,而配方法和由配方法推导出来的求根公式是一般方法,一般方法对任何一元二

次方程都可以使用。

(1)直接开平方法:

把方程变为形如(x+a)=b(b≥0)的方程可用直接开平方法求解。两边直接开平方得:x+a= b或x+a=- b。

∴x1=-a+ b,x2=-a- b。

注意:(1)直接开平方的理论根据是平方根的定义,故只有在b≥0条件下,方程才有实数根。若b<0,则方程(x+a)=b无实数根;

(2)在实际问题中,要联系实际情况确定方程的解。 (2)因式分解法:

如果一元二次方程经过因式分解能化成a·b=0的形式,且a与b都是含有未知数的一次式那么它就可以化为两个一元一次方程a=0或b=0,根据这种思想解一元二次方程的方法,就是因式分解法。

因式分解法体现了将一元二次方程“降次”转化为一元一次方程来解的思想,运用这种方法的步骤是:

①将已知方程化为一般形式,使方程右端为0;

②将左端的二次三项式分解为两个一次因式的积;

③分别令方程左边的两个因式为0,得到两个一次方程,它们的解就是原方程的解。

注意:因式分解法是解一元二次方程常用的方法,务必熟练掌握。

(2)配方法:

通过配方把一元二次方程ax+bx+c=0变形为(x+ )=的形式,再利用直接开平方法解之,这就是配方法。 用配方法解一元二次方程的一般步骤:

①移项:使方程左边为二次项和一次项,右边为常数项; ②化二项系数为1:在方程两边都除以二次项系数;

③配方:方程的两边都加上一次项系数一半的平方,把方程化为(x+m)=n(n≥0)的形式;

④用直接开平方法解变形后的方程。

注意(1)“将二项系数化为1”是配方的前提条件,配方是关键也是难点;

(2)配方法是一种重要的数学方法,应予以重视。 (4)公式法:

应用配方法可导出一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的求根公式x=(b-4ac≥0)。

用公式法解一元二次方程的一般步骤:

①化方程为一般形式,即ax+bx+c=0(a≠0);

②确定a、b、c的值,并计算b-4ac的值(注意符号);

③当b-4ac≥0时,将a、b、c及b-4ac的值代入球根公式,得出方程的根:x=;当b-4ac<0时,原方程无实数解。

注意:(1)在运用公式法解一元二次方程时,一定要先把方程化为一般形式,再确定a、b、c的值,否则,易出现符号错误;

(2)用公式法解一元二次方程时,套入公式要运算准确。 4、怎样选择恰当的方法解一元二次方程:

解一元二次方程常用的方法有四种。使用时关键是选择适当的方法,一般按照先特殊后一般的程序选择,考虑的顺序是:直接开平方法→因式分解法→公式法。没有特殊要求,配方法一般不用,因为配方法解方程比较麻烦,但配方的方法要熟练掌握。 5、一元二次方程根的判别式及应用:

(1)一元二次方程根的判别式概念及定理内容:

概念:一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)是否有实数根,完全取决于b-4ac的符号,因此,把b-4ac叫一元二次方程的根的判别式。用“Δ”表示,即Δ=b-4ac。

内容:对于一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0), Δ=b-4ac>0,方程有两个不相等实数根; Δ=b-4ac=0,方程有两个相等的实数根; Δ=b-4ac<0,方程无实数根。

注意:(1)Δ=b-4ac只适用于一元二次方程;

(2)使用时,要先将一元二次方程化为一般形式后,才能确定a、b、c,求出Δ;

(3)当Δ=b-4ac≥0时,方程有实数根。

(2)一元二次方程根的判别式主要有以下应用:

①不解一元二次方程,判断根的情况;

②证明字母系数方程有实数根或无实数根;

③根据方程根的情况,确定待定系数的取值范围。

6、一元二次方程根与系数的关系及应用:

(1)内容:

①如果x1,x2是一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的两根,那么x1+x2=-,x1·x2=;

②如果方程x+px+q=0的两个根是x1,x2,那么x1+x2=-p,x1·x2=q(韦达定理);

③以两个数x1,x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x-(x1+x2)x+x1·x2=0.

(2)应用:

①已知方程的一个跟,求另一根及未知系数;

②不解方程,求与已知方程两根有关的代数式的值;

③已知方程的两根满足某种关系,确定方程中字母系数的值。

7、列一元二次方程解应用题的方法步骤:

列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的拓展,解题方法是相同的,但由于一元二次方程有两个解,要注意检验方程的解是否符合实际意义。

其步骤为:

①设:即适当设未知数(直接设未知数,间接设未知数),不要漏写单位名称,会用含未知数的代数式表示题目中涉及的量;

②列:根据题意,列出含有未知数的等式,注意等号两边量的单位必须一致;

③解:解所列方程,求出解来;

④验:一是检验是否为方程的解;二是检验是否为应用题的解; ⑤答:怎么问就怎么答,注意不要漏写单位名称。

8、主要题型:

列一元二次方程解应用题的类型很多,在日常生活、生产、科技等方面有广泛的应用,如面积问题、平均增长率(降低率)问题、利润问题、数字问题、刹车问题等。

Ⅲ、本章数学思想方法:

配方法

转化思想:主要体现在解一元二次方程通过开平方法或因式分解法转化为一元一次方程;把一般形式的一元二次方程转化为特殊

形式的方程(x+a)=b(b≥0)

分类讨论思想

化归思想:化归思想就是把所要解决的问题转化归结为另一个较容易的问题或已经解决的问题

方程思想

数学建模思想

第二十二章 一元二次方程 小结与复习2017-12-11 21:37:14 | #2楼回目录

第二十二章 一元二次方程

小结与复习

一、自主学习:

复习本章内容,思考以下几个问题:

1、 正确理解一元二次方程的定义。

2、 一元二次方程都是有哪些解法?各自的解题步骤是什么?

3、 如何运用b2-4ac判断一元二次方程根的情况,及求一些字母的取值范围。

4、 想一想,四个探究是怎样处理的。“按一定速度传播问题、增长(或降低)率问题、图形设计问题、匀减速

问题”

5、 针对每个探究,怎样找相等关系?

6、 仔细体会本章内容,你都是有哪些收获?

二、例题学习:

例1、方程(m2)x

例2、用适当的方法解下列方程:

(1)9(6x4)960 (2)4(x1)9(2x3)

解:解:

例3、已知关于x的方程(k2)x(2k3)x10其中k为常数,试分析此方程根的情况。

解:

1 22222m3mx10是关于x的一元二次方程,求m的值。

例4:某电脑公式2016年的各项经营收入中经营电脑配件的收入为600万元,占当年经营总收入的40%,该公式预计2016年经营总收入达到2160万元,且计划从2016年到2016年每年经营总收入的年增长率相同,求年平均增长率为多少?

解:

例5、某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙,(墙长25m)另外三边用木栏围成,木栏长40m。

(1)养鸡场面积能达到180m2吗?

(2)养鸡场面积能达到220m2吗?

(3)养鸡场面积能达到250m2吗?

如果能,请给出设计方案,如果不能,请说明理由。

解:

三、课堂练习:

1、用适当的方法解下列方程:

2(1)2x20x250 (2)5x(x3)(x1)(x3)

解: 解:

2、一个直角梯形的上底比下底大2cm,高比上底小1cm,面积是8cm2画出这个梯形。

3、某银行经过最近两次降息,使每年存款的年利率由2.25%降至1.98%,平均每次降息的百分率是多少(精确 2

到0.01%)?

四、总结反思:

1、 知道怎样的方程才是一元二次方程,它与一元一次方程有什么区别和联系。

2、 一元二次方程都是有4种解法,根据方程特点选择不同的解法。

3、 根的判别式的作用。

4、 一元二次方程在实际生活中广泛存在,并且能帮助解决生活中的一些实际问题。

【达标检测】

1、已知,a、b、c是三角形的三边,且方程a(x21)2cxb(x21)0有两个相等的实数根,则该三角形是()

A、等腰三角形 B 、等边三角形C、直角三角形D、等腰直角三角形

2、已知关于x的方程(k3)x23kx2k10它一定是( )

A、一元二次方程B、一元一次方程C、一元二次方程或一元一次方程D、无法确定

23、若关于x的一元二次方程x2x2k0有两个相等的实数根,则该方程的根为x1x2

224、方程9x4与3xa的解相同,则a。

5、解下列方程

2(1)(x3)(x6)8 (2)3x6x40

解:解:

6、2006年中国内地部分养鸡场突发禽流感疫情,某养鸡场中一只带病毒的小鸡经过两天的传染后鸡场共有169只小鸡遭感染患病,在每一天的传染中平均一只小鸡传染了几只小鸡?

解:

3

第二十一章 一元二次方程单元小结2017-12-11 21:37:50 | #3楼回目录

第21章 一元二次方程 小结与复习 教学目标:

知识与技能:

灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程,运用一元二次方程解决简单的实际问题.

过程与方法:

经历运用知识、技能解决问题的过程,发展学生的独立思考能力和创新精神.

情感态度与价值观:

培养学生对数学的好奇心与求知欲,养成质疑和独立思考的学习习惯.

教学重难点:

重点:运用知识、技能解决问题

难点:解题分析能力的提高.

教学过程

一、 知识回顾

1.方程中只含有_______未知数,并且未知数的最高次数是_______,这样的______的方程叫做一元二次方程,通常可写成如下的一般形式:_______( )其中二次项系数是______,一次项系数是______,常数项是________.

2.解一元二次方程的一般解法有

(1)_________;(2)________;(3)_________;(4)求根公

式法,求根公式是______________.

3.一元二次方程的根的判别式是____________,当_______时,它有两个不相等的实数根;当_________时,它有两个相等的实数根;当_______时,它没有实数根.

二、 习题演练

点拨:选择解方程的方法时,应先考虑直接开平方法和因式分解法;再考虑用配方法,最后考虑用公式法.

三、 随堂巩固

课本P25复习题21 第1、3、5、11题

四、 小结作业

1.问题:谈一谈本节课自己的收获和感受?

2.作业:课本P25复习题21 第2、4题

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