周小结公式

周小结公式 | 楼主 | 2017-12-01 04:06:45 共有3个回复
  1. 1周小结公式
  2. 2分式周小结易错练习 乘除
  3. 3线代公式小结

计宝山北区闵行南区青浦西区松江累积总计,将主副角线翻转后所得行列式为则,对于同型矩阵若行最简形矩阵,利用特征值和相似对角化伴随矩阵,中有阶子式全部为中有阶子式不为线性方程组其中为矩阵则。

周小结公式2017-12-01 04:05:21 | #1楼回目录

外部私装CDMA硬件故障分公司总

直放站

计宝山1023北区2327闵行8008南区2204青浦0213西区111012松江3025本周总计27

8742

外部私装CDMA分公司总直放站

计宝山1040104北区2085213闵行66213675南区11410124青浦74781西区39419413松江4070407累积总计1963

54201711月9日

外部私装

CDMA直放站

宝山31北区72闵行140南区20青浦00西区81松江00本周总计34

4

外部私装CDMA直放站

宝山1050北区2108闵行67013南区11612青浦749西区40520松江4100累积总计1990

62

硬件故障分公司总

计0411001446000900542

硬件故障分公司总

计2107222006830128184042524127205911月16日外部私装CDMA硬件故障分公司总直放站计宝山2002北区0303闵行180018南区1001青浦0000西区100010松江2002嘉定2002本周总计353038外部私装CDMA硬件故障分公司总直放站计宝山10812111北区217103230闵行684130697南区118124134青浦749184西区413210434松江41002412

累积总计202466122102

11月23日外部私装

CDMA硬件故障分公司总

直放站

计宝山71

08北区3014闵行210021南区4015青浦2016西区6006松江0000嘉定0000本周总计43

1347外部私装CDMA

硬件故障分公司总

直放站

计宝山1101

2113北区217133233闵行702130715南区119124135青浦749184西区423210444松江41202414嘉定2002累积总计2026

6612214011月30日外部私装

CDMA直放站

宝山40

北区10闵行80南区50青浦00西区50松江20嘉定20本周总计27

外部私装

CDMA

直放站

宝山1172

北区22016闵行72313南区12312青浦769西区42921松江4120嘉定20累积总计2102

70

硬件故障分公司总

计0423081600050202330

硬件故障分公司总

计2121423707365140287045024140215218712月7日外部私装

CDMA硬件故障分公司总

直放站

计宝山30

03北区3003闵行170017南区1001青浦1001西区6107松江0000嘉定1001金山2002本周总计34

1035

外部私装

CDMA

硬件故障分公司总

直放站

计宝山1212

2125北区221136240闵行731130744南区128126146青浦769287西区434210455松江41402416嘉定2002累积总计2127

70182215

12月14日外部私装

CDMA硬件故障分公司总

直放站

计宝山30

03北区2016闵行203023南区3003青浦0000西区150015松江1102嘉定0000金山0000本周总计44

4149

外部私装

CDMA

硬件故障分公司总

直放站

计宝山1242

2128北区224136243闵行748130761南区129126147青浦779288西区440220462松江41402416嘉定2002累积总计2161

71182250外部私装

CDMA

直放站

宝山1272

北区22613闵行76816南区13212青浦779西区45522松江4151嘉定20累积总计2205

75

硬件故障分公司总

计21317246078461502880477241802192299

分式周小结易错练习 乘除2017-12-01 04:04:24 | #2楼回目录

分式周小结易错练习 乘除

一、填空

1、约分;(1)x2x_______ (2)x2y2_____________(3)a24a4___________

x11x

2

2、当x 值时,分式二、通分

(1)

32mn

与2mn(2mn)

2

的值为03、.若分式

xy3xy

中x和y都扩大5倍,则分式的值

(2)

aab

2

2

与1ab

(3)

1x4x4

2

与xx4

2

三、计算 (1)(3xy)

2y2

3x(2)

2m5n

4m10n

23(3)

2

(6m)(6m)

1m(m6)

(a2)(a2)(a2)x9x32xy(4)(5)(6)222

(a1)a1x6x93x9xmn

2

2

3

2

2

y

2

8x2

y22m(7)xyx

2

x2xyy

xy22xyx

2

(8)

a12

2

a4a4a1

1

a1a1a2

线代公式小结2017-12-01 04:05:32 | #3楼回目录

1、行列式

1.n行列式共有n2

个元素,

展开后有n!项,可分解为2n行列式;

2. 代数余子式的性质:

①、Aij和aij的大小无关;

②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0;

③、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为A;

3. 代数余子式和余子式的关系:

MijijAij

ij(1)Ai(j1 )Mi4. 设n行列式D:

将D上、下翻转或左右翻转,所得行列式为D1,n(n1)则D1(1)

2

D;

将D顺时针或逆时针旋转90

,所得行列式为

n(n1)D2,则D2(1)

2

D;

将D主对角线翻转后(转置),所得行列式为D3,则D3D;

将D主副角线翻转后,所得行列式为D4,则

D4D;

5. 行列式的重要公式:

①、主对角行列式:主对角元素的乘积;

②、副对角行列式:副对角元素的乘积

n(n1)(1)

2

;③、上、下三角行列式(◥◣):主对角元素的乘积;

n(n1)④、◤和◢:副对角元素的乘积(1)

2

;⑤、拉普拉斯展开式:

AOACBC

OBAB、CAOA

(1)mnBOBC

AB ⑥、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积; ⑦、特征值;

6. 对于n阶行列式

A

,恒有:

Enn

(

1kk

)S,其中nk

Sk为k阶主k1

子式;

7. 证明A0的方法:

①、AA; ②、反证法;

③、构造齐次方程组Ax0,证明其有非零解; ④、利用秩,证明r(A)n; ⑤、证明0是其特征值;

2、矩阵

1.A是n阶可逆矩阵:

A0(是非奇异矩阵);

r(A)n(是满秩矩阵) A的行(列)向量组线性无关; 齐次方程组Ax0有非零解; bRn,Axb总有唯一解; A与E等价;

A可表示成若干个初等矩阵的乘积; A的特征值全不为0; ATA是正定矩阵;

A的行(列)向量组是Rn的一组基;

A是Rn中某两组基的过渡矩阵;

2. 对于n阶矩阵A:AA*A*AAE 无条件恒成

立; 3.

(A1)*(A*)1

(A1)T(AT)1(A*)T(AT

(AB)TBTAT

(AB)*B*A*

(AB)1B

4. 矩阵是表格,推导符号为波浪号或箭头;行列式

是数值,可求代数和;

5. 关于分块矩阵的重要结论,其中均A、B可逆:

A1若A

A

2

,则:

AsⅠ、AA1A2As;

A11Ⅱ、A1

A12

A1s

1

②、AO

A1O

OBOB1;(主对角分块)

1

③、OAOB1

BOA1

O;(副对角分块)

1④、ACA1CB1

OBA1

O

B1;(拉普拉斯)

1⑤、AO

O

CBA1B1CA

1

B1;(拉普拉斯)

1

j

3、矩阵的初等变换与线性方程

组1. 一个mn矩阵A,总可经过初等变换化为标准

形,其标准形是唯一确定的:FE

r

O

O

O; mn

等价类:所有与A等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类;标准形为其形状最简单的矩阵;

对于同型矩阵A、B,若r(A)r(B)AB; 2. 行最简形矩阵:

①、只能通过初等行变换获得;

②、每行首个非0元素必须为1;

③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0;

3. 初等行变换的应用:(初等列变换类似,或转置后采用初等行变换)

①、 若(A,E)r

(E,X),则A可逆,且XA1; ②、对矩阵(A,B)做初等行变化,当A变为E时,B就变成A1B,即:(A,B)c

(E,A1B);

③、求解线形方程组:对于n个未知数n个方程r

Axb,如果(A,b)(E,x),则A可逆,且xA1

b; 4. 初等矩阵和对角矩阵的概念:

①、初等矩阵是行变换还是列变换,由其位置决定:左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵;

1②、

2

,左乘矩阵A,i

乘A

n

的各行元素;右乘,i乘A的各列元素;

③、对调两行或两列,符号E(i,j),且

1

E(i,j)1

E(i,,例如:j)111

1; 11

④、倍乘某行或某列,符号E(i(k)),且E(i(k)1)E1

k()),例如:

1

1

1

k

11k

(k0);

1

⑤、倍加某行或某列,符号E(ij(k)),且

E(ij(k))1E(ij(k))

,如:

1

1kk11

1

(k0); 11

5. 矩阵秩的基本性质:

①、0r(Amn)min(m,n);

②、r(AT)r(A);

③、若AB,则r(A)r(B); ④

、若P

、Q可逆,则

r(A)r(PA)r(AQ)r(PAQ);(可逆矩阵不影响矩

阵的秩)

⑤、max(r(A),r(B))r(A,B)r(A)r(B);(※) ⑥、r(AB)r(A)r(B);(※) ⑦、r(AB)min(r(A),r(B));(※)

⑧、如果A是mn矩阵,B是ns矩阵,且AB0,则:(※)

Ⅰ、B的列向量全部是齐次方程组AX0解(转置运算后的结论);

Ⅱ、r(A)r(B)n

⑨、若A、B均为n阶方阵,则

r(AB)r(A)r(B)n;

6. 三种特殊矩阵的方幂:

①、秩为1的矩阵:一定可以分解为列矩阵(向量)行矩阵(向量)的形式,再采用结合律;

1ac②、型如01b

的矩阵:利用二项展开式;

001

二项展开式:

(ab)nC0n1n11mnmmn11n1Cnn

naCnabCnabCnabnb

;注:Ⅰ、(ab)n展开后有n1项;

Ⅱ、Cmn(nnm

n

n

1mmnm

C0Cnn

n

1

12Ⅲ、组合的

性质:

Cmnmn

C

n

C

m1n

n1CmC

mnn

C

rn2nrCrnn

r0;③、利用特征值和相似对角化: 7. 伴随矩阵:

n

r(A)n①、伴随矩阵的秩:

r(A*)1r(A)n1;

0r(A)n1

②、伴随矩阵的特征值:

2

A

1

(AXX,A*AAA*X

A

X);

③、A*AA1、A*A

n18. 关于A矩阵秩的描述:

①、r(A)n,A中有n阶子式不为0,n1阶子式全部为0;(两句话)

②、r(A)n,A中有n阶子式全部为0; ③、r(A)n,A中有n阶子式不为0; 9. 线性方程组:Axb,其中A为mn矩阵,则:

①、m与方程的个数相同,即方程组Axb有m个方程;

②、n与方程组得未知数个数相同,方程组Axb为n元方程;

10. 线性方程组Axb的求解:

①、对增广矩阵B进行初等行变换(只能使用初等行变换);

②、齐次解为对应齐次方程组的解; ③、特解:自由变量赋初值后求得;

11. 由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性

方程:

a11x1a12x2a1nxnb1①、a21x1a22x2a2nxnb2

;am1x1am2x2anmxnbn

a11

a12a1nx1②、a

21a22ab1

2nx2b2

Axb

am1

am2a

mnxmbm

(向量方程,A为mn矩阵,m个方程,n个未知数)

x1③、a1a2

axn2(全部按列分块,

xnb1其中b

2);

bn④、a1x1a2x2anxn(线性表出) ⑤、有解的充要条件:r(A)r(A,)n(n为未知数的个数或维数)

4、向量组的线性相关性

1.m个n维列向量所组成的向量组A:1,2,,m构成nm矩阵A(1,2,,m);

m个n维行向量所组成的向量组B:

T1TTT

T1,2,,m构成mn矩阵B2;

Tm含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应; 2. ①、向量组的线性相关、无关 Ax0有、无非零解;(齐次线性方程组) ②、向量的线性表出 Axb是否有解;(线性方程组) ③、向量组的相互线性表示 AXB是否有解;(矩阵方程)

3. 矩阵Amn与Bln行向量组等价的充分必要条件是:齐次方程组Ax0和Bx0同解;(P101例14)

4. r(ATA)r(A);(P101例15) 5.

n维向量线性相关的几何意义: ①、线性相关0;

②、,线性相关 ,坐标成比例或共

线(平行);

③、,,线性相关 ,,共面; 6. 线性相关与无关的两套定理:

若1,2,,s线性相关,则1,2,,s,s1必线性相关;

若1,2,,s线性无关,则1,2,,s1必线性无关;(向量的个数加加减减,二者为对偶)

若r维向量组A的每个向量上添上nr个分量,构成n维向量组B:

若A线性无关,则B也线性无关;反之若B线性相关,则A也线性相关;(向量组的维数加加减减)

简言之:无关组延长后仍无关,反之,不确定; 7. 向量组A(个数为r)能由向量组B(个数为s)线性表示,且A线性无关,则rs(二版P74定理

7);

向量组A能由向量组B线性表示,则r(A)r(B);(P86定理3) 向量组A能由向量组B线性表示

AXB有解;

r(A)r(A,B)(P85定理2)

向量组

A能由向量组B等价r(A)

r(B)(r(PA85定理

B2推论) 8. 方阵A可逆存在有限个初等矩阵P1,P2,,Pl,

使AP1P2Pl;

①、矩阵行等价:A~r

BPAB(左乘,P可逆)Ax0与Bx0同解

②、矩阵列等价:A~cBAQB(右乘,Q可

逆); ③、矩阵等价:A~BPAQB(P、Q可逆); 9. 对于矩阵Amn与Bln:

①、若A与B行等价,则A与B的行秩相等; ②、若A与B行等价,则Ax0与Bx0同解,且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性;

③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩; ④、矩阵A的行秩等于列秩; 10. 若AmsBsnCmn,则:

①、C的列向量组能由A的列向量组线性表示,B为系数矩阵;

②、C的行向量组能由B的行向量组线性表示,AT为系数矩阵;(转置)

11. 齐次方程组Bx0的解一定是ABx0的解,考

试中可以直接作为定理使用,而无需证明; ①、ABx0 只有零解Bx0只有零解; ②、Bx0 有非零解ABx0一定存在非零解;

12. 设向量组Bnr:b1,b2,,br可由向量组

Ans:a1,a2,,as线性表示为:(P110题19结论) (b1,b2,,br)(a1,a2,,as)K(BAK)

其中K为sr,且A线性无关,则B组线性无关

r(K)r;(B与K的列向量组具有相同线性相关性)

(必要性:

r(r

)

B

(

r

);充A分

性:反证法)

注:当rs时,K为方阵,可当作定理使用;

13. ①、对矩阵Amn,存在Qnm,AQEm

r(A)m、Q的列向量线性无关;(P87)

②、对矩阵Amn,存在Pnm,PAEn

r(A)n、P的行向量线性无关; 14. 1,2,,s线性相关

存在一组不全为0的数k1,k2,,ks,使得

k11k22kss0成立;(定义)

x1(x

21,2,,s)0有非零解,即Ax0有

xs非零解;

r(1,2,,s)s,系数矩阵的秩小于未知数的个数;

15. 设mn的矩阵A的秩为r,则n元齐次线性方程

组Ax0的解集S的秩为:r(S)nr; 16. 若*为Axb的一个解,1,2,,nr为Ax0

的一个基础解系,则*,1,2,,nr线性无关;

(P111题33结论)

5、相似矩阵和二次型

1. 正交矩阵ATAE或A1AT(定义),性质:

①、A的列向量都是单位向量,且两两正交,即

aT1

ijiaj

0ij(i,j1,2,n);

②、若A为正交矩阵,则A1AT也为正交阵,且A1;

③、若A、B正交阵,则AB也是正交阵;注意:求解正交阵,千万不要忘记施密特正交化和单位化;

2. 施密特正交化:(a1,a2,,ar)

b1a1;

ba2]

2a[b1,2

[b]

b1 1,b1

b[b1,ar][b,a]rar

[bb2r[b1,ar]

1b2rbr1; 1,b1][b2,b2][br1,br1]

3. 对于普通方阵,不同特征值对应的特征向量线性

无关;

对于实对称阵,不同特征值对应的特征向量正交;

4. ①、A与B等价 A经过初等变换得到B;

PAQB,P、Q可逆; r(A)r(B),A、B同型; K②、A与B合同 CTACB,其中可逆;

r

xTKAx与xTBxr有相同的K

正、负惯性指数;

③、A与B相似 P1APB; 5. 相似一定合同、合同未必相似;

若C为正交矩阵,则CTACBAB,(合同、相似的约束条件不同,相似的更严格); 6. A为对称阵,则A为二次型矩阵; 7. n元二次型xTAx为正定:

A的正惯性指数为n;

A与E合同,即存在可逆矩阵C,使CTACE;

A的所有特征值均为正数;A的各阶顺序主子式均大于0;

aii0,A0;(必要条件)

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