函数与导数知识点小结

函数与导数知识点小结 | 楼主 | 2017-11-02 21:14:50 共有3个回复
  1. 1函数与导数知识点小结
  2. 2函数与导数解题方法知识点技巧总结
  3. 3函数与导数知识点总结

映射注意第一个集合中的元素必须有象一对一或多对一,率距离绝对值的意义等利用函数有界性等导数法,二次函数问题解决需考虑的因素,在解题中常用的有关结论需要熟记,若三次函数有三个零点则方程有两个不等实根且。

函数与导数知识点小结2017-11-02 21:14:02 | #1楼回目录

1.映射:注意 ①第一个集合中的元素必须有象;②一对一,或多对一。

2.函数值域的求法:①分析法 ;②配方法 ;③判别式法 ;④利用函数单调性 ;

⑤换元法 ;⑥利用均值不等式 aba2b2

; ⑦利用数形结合或几何意义(斜ab22

x率、距离、绝对值的意义等);⑧利用函数有界性(a、sinx、cosx等);⑨导数法

3.复合函数的有关问题

(1)复合函数定义域求法:

① 若f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出 ② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域,相当于x∈[a,b]时,求g(x)的值域。

(2)复合函数单调性的判定:

①首先将原函数yf[g(x)]分解为基本函数:内函数ug(x)与外函数yf(u); ②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性;

③根据“同性则增,异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。

4.分段函数:值域(最值)、单调性、图象等问题,先分段解决,再下结论。

5.函数的奇偶性

⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件; ....

⑵f(x)是奇函数f(-x)=-f(x);f(x)是偶函数f(-x)= f(x)

⑶奇函数f(x)在原点有定义,则f(0)0;

⑷在关于原点对称的单调区间内:奇函数有相同的单调性,偶函数有相反的单调性; ⑸若所给函数的解析式较为复杂,应先等价变形,再判断其奇偶性;

6.函数的单调性

⑴单调性的定义:

①f(x)在区间M上是增函数x1,x2M,当x1x2时有f(x1)f(x2); ②f(x)在区间M上是减函数x1,x2M,当x1x2时有f(x1)f(x2); ⑵单调性的判定

① 定义法:一般要将式子f(x1)f(x2)化为几个因式作积或作商的形式,以利于判断符

号;

②导数法(见导数部分);③复合函数法;④图像法。

注:证明单调性主要用定义法和导数法。

7.函数的周期性

(1)周期性的定义:对定义域内的任意x,若有f(xT)f(x) (其中T为非零常数),则称函数f(x)为周期函数,T为它的一个周期。

所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明,遇到的周期都指最小正周期。

(2)三角函数的周期

①ysinx:T2 ;②ycosx:T2 ;③ytanx:T; ④yAsin(x),yAcos(x):T

(3)与周期有关的结论 2 ;⑤ytanx:T; ||||

f(xa)f(xa)或f(x2a)f(x)(a0) f(x)的周期为2a;

8.基本初等函数的图像与性质

⑴幂函数:yx (R) ;⑵指数函数:yax(a0,a1);

⑶对数函数:ylogax(a0,a1);⑷正弦函数:ysinx;

2⑸余弦函数:ycosx ;(6)正切函数:ytanx;⑺一元二次函数:axbxc0;

⑻其它常用函数:

yykx(k0);① 正比例函数:②反比例函数:

9.二次函数:

⑴解析式: ka(k0);③函数yx(a0); xx

① 一般式:f(x)axbxc;②顶点式:f(x)a(xh)k,(h,k)为顶点; ③零点式:f(x)a(xx1)(xx2) 。

⑵二次函数问题解决需考虑的因素:

①开口方向;②对称轴;③端点值;④与坐标轴交点;⑤判别式;⑥两根符号。

2二次函数yaxbxc的图象的对称轴方程是x22b,顶点坐标是2a

b4acb22a4a。

10.函数图象:

⑴图象作法 :①描点法 (特别注意三角函数的五点作图)②图象变换法③导数法 ⑵图象变换:

① 平移变换:ⅰ)yf(x)yf(xa),(a0)———左“+”右“-”;

ⅱ)yf(x)yf(x)k,(k0)———上“+”下“-”;

yf(x);ⅱyf(x)yf(x); ② 对称变换:ⅰyf(x)(0,0)y0

xf(y); ⅲ yf(x)yf(x); ⅳyf(x)

③ 翻转变换:

ⅰ)yf(x)yf(|x|)———右不动,右向左翻(f(x)在y左侧图象去掉); ⅱ)yf(x)y|f(x)|———上不动,下向上翻(|f(x)|在x下面无图象);

11.函数图象(曲线)对称性的证明

(1)证明函数yf(x)图像的对称性,即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上;

(2)证明函数yf(x)与yg(x)图象的对称性,即证明yf(x)图象上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点在yg(x)的图象上,反之亦然;

注:①曲线C1:f(x,y)=0关于点(0,0)的对称曲线C2方程为:f(-x,-y)=0; ②曲线C1:f(x,y)=0关于直线x=0的对称曲线C2方程为:f(-x, y)=0;

曲线C1:f(x,y)=0关于直线y=0的对称曲线C2方程为:f(x, -y)=0;

曲线C1:f(x,y)=0关于直线y=x的对称曲线C2方程为:f(y, x)=0

③f(a+x)=f(b-x) (x∈R)→y=f(x)图像关于直线x=x0yxab对称; 2

特别地:f(a+x)=f(a-x) (x∈R)→y=f(x)图像关于直线x=a对称;

12.函数零点的求法:

⑴直接法(求f(x)0的根);⑵图象法;⑶二分法.

(4)零点定理:若y=f(x)在[a,b]上满足f(a)f(b)<0,则y=f(x)在(a,b)内至少有一个零点。

13.导数

⑴导数定义:f(x)在点x0处的导数记作yxx0f(x0)limx0f(x0x)f(x0); x

'n'n1'⑵常见函数的导数公式: ①C0;②(x)nx;③(sinx)cosx;

'x'xx'x④(cosx)sinx;⑤(a)alna;⑥(e)e;⑦(logax)'1;xlna

⑧(lnx)'1 。 x

uuvuv⑶导数的四则运算法则:(uv)uv;(uv)uvuv;(); vv2

⑷(理科)复合函数的导数:yxyuux;

⑸导数的应用:

①利用导数求切线:注意:ⅰ)所给点是切点吗?ⅱ)所求的是“在”还是“过”该点的切线? ②利用导数判断函数单调性:

①f(x)0f(x)是增函数;②f(x)0f(x)为减函数;③f(x)0f(x)为常

数;

③利用导数求极值:ⅰ)求导数f(x);ⅱ)求方程f(x)0的根;ⅲ)列表得极值。 ④利用导数最大值与最小值:ⅰ)求的极值;ⅱ——求区间端点值(如果有);ⅲ)得最值。

函数与导数解题方法知识点技巧总结2017-11-02 21:12:24 | #2楼回目录

《》

1.高考试题中,关于函数与导数的解答题(从宏观上)有以下题型:

(1)求曲线yf(x)在某点出的切线的方程

(2)求函数的解析式

(3)讨论函数的单调性,求单调区间

(4)求函数的极值点和极值

(5)求函数的最值或值域

(6)求参数的取值范围

(7)证明不等式

(8)函数应用问题

2.在解题中常用的有关结论(需要熟记):

xx0处的切线的斜率等于f(x0),且切线方程为yf(x0)(xx0)f(x0)。 (1)曲线yf(x)在

xx0处取得极值,则f(x0)0。反之不成立。 (2)若可导函数yf(x)在

(0)(3)对于可导函数f(x),不等式f(x)0的解是函数f(x)的递增(减)区间。

(4)函数f(x)在区间I上递增(减)的充要条件是:xIf(x)0(0)恒成立(f(x)不恒为0).

(5)若函数f(x)在区间I上有极值,则方程f(x)0在区间I上有实根且非二重根。 (若f(x)为二次函数且I=R,

则有0)。

(6)若函数f(x)在区间I上不单调且不为常量函数,则f(x)在I上有极值。

f(x)min0; 若xIf(x)0恒成立,则f(x)max0 (7)若"x If(x)0恒成立,则

(8)若x0I使得f(x0)0,则f(x)max0.;若x0I使得 f(x0)0,则f(x)min0.

f(x)g(x)min0. (9)设f(x)与g(x)的定义域的交集为D,若xD f(x)>g(x)恒成立,则有

(10)若对

若对x1I1、x2I2 ,f(x1)g(x2)恒成立,则f(x)ming(x)max. x1I1,x2I2 , 使得f(x1)g(x2), 则f(x)ming(x)min.

x1I1,x2I2,使得f(x1)g(x2),则f(x)maxg(x)max. 若对

IIxI1,x2I2使得f(x1)=g(x2)成立,(11) 已知f(x)在区间1上的值域为A,g(x)在区间2上值域为B,若对1

则AB。

1

x,xf(x1)f(x2)0 (12) 若三次函数f(x)有三个零点,则方程f(x)0有两个不等实根12且

(13) 证题中常用的不等式:

①②lnxx1(x0)(仅当x=1时劝=”) ln(x+1)x(x1)(仅当x=0时劝=”)

2ln(1x)x(x0) ③

lnxx1(x1)2④x1 lnx112(x0)222x⑤x

xe1x⑥

xe1x⑦

3.函数与导数解答题常见题型的解法

(1)已知曲线yf(x)(含参数)的切线方程为ykxb,求参数的值

【解法】先设切点坐标为(x0,y0),求出切线方程yf(x0)(xx0)f(x0)

再与已知切线方程比较系数得:

解此方程组可求参数的值

(2)已知函数yf(x)(含参数),讨论函数的单调性

【解法】先确定f(x)的定义域,并求出f(x),观察f(x)能否恒大于或等于(恒小于或等

于)0,如果能,则求参数的范围,讨论便从这里开始,当参数在上述范围以外取值时,令f(x)0,求根x1,x2.再分层讨论,是否在定义域内或讨论x1,x2的大小关系,再列表讨论,确定f(x)的单调区间。(大多数函数的导函数都可以转化为一个二次函数,因此讨论函数单调性问题又往往是讨论二次函数在某一区间上的符号问题)

2 f(x0)k xf(x0)f(x0)b

(3)已知函数yf(x)(含参数)在区间I上有极值,求参数的取值范围.

【解法】函数f(x)在区间I 上有极值,可转化为,方程f(x)0 在区间I上有实根,且

为非二重根。从而确定参数(或其取值范围)。

(4)可导函数f(x)(含参数)在区间I上无极值,求参数的取值范围

【解法】f(x)在区间I上无极值等价于f(x)在区间在上是单调函数,进而得到f(x)0或

f(x)0在I上恒成立

(5) 函数f(x)(含单个或多个参数)仅在xx0时取得极值,求参数的范围

【解法】先由f(x)0,求参数间的关系,再将f(x)表示成f(x)=(xx0)g(x),再由

g(x)0(0)恒成立,求参数的范围。(此类问题中f(x)一般为三次多项式函数)

(6) 函数f(x)(含参数)在区间I上不单调,求参数的取值范围

【解法一】转化为f(x)在I上有极值。(即f(x)0 在区间I上有实根且为非二重根)。

【解法二】从反面考虑:假设f(x)在I上单调则f(x) 0(0)在I 上恒成立,求出参数

的取值范围,再求参数的取值范围的补集

(7)已知函数f(x)(含参数),若x0I,使得f(x0)0(0)成立,求参数的取值范围.

【解法一】转化为f(x)在I上的最大值大于0(最小值小于0)

【解法二】从反面考虑:假设对xI,f(x)0(0)恒成立则 f(x)max0 (f(x)min0),求

参数的取值范围,再求参数的取值范围的补集

(8)含参数的不等式恒成立,求参数的取值范围

【解法一】分离参数求最值

【解法二】构造函数用图像

(注:对于多变量不等式恒成立,先将不等式变形,利用函数的最值消变元,转化为

单变量不等式恒成立问题)

(9)可导函数f(x)(含参数)在定义域上存在单调递增(减)区间, 求参数的范围.

【解法】等价转化为f(x)0(0)在定义域上有解即x0D使f(x0)0(0)成立(1)可用

分离参数法(2)利用图像及性质

(10)证明不等式

【解法】构造函数f(x)并确定定义域D,考察在D上的单调性(注意区间端点的函数值)

或者求f(x)在D上的最值

( 注:对于含有正整数n的带省略号的不定式的证明,先观察通项,联想基本不定

式,确定要证明的函数不定式,再对自变量x赋值,令x分别等于1、2、…….、

n,把这些不定式累加,可得要证的不定式。)

函数与导数知识点总结2017-11-02 21:12:36 | #3楼回目录

函数与导数

1.映射:注意 ①第一个集合中的元素必须有象;②一对一,或多对一。

2.函数值域的求法:①分析法 ;②配方法 ;③判别式法 ;④利用函数单调性 ;

⑤换元法 ;⑥利用均值不等式; ⑦利用数形结合或几何意义(斜率、距离、绝对值的意义等);⑧利用函数有界性( 、 、 等);⑨导数法

3.复合函数的有关问题

(1)复合函数定义域求法:

① 若f(x)的定义域为〔a,b〕,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域,相当于x∈[a,b]时,求g(x)的值域。

(2)复合函数单调性的判定:

①首先将原函数 分解为基本函数:内函数 与外函数 ;

②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性;

③根据“同性则增,异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。

注意:外函数 的定义域是内函数 的值域。

4.分段函数:值域(最值)、单调性、图象等问题,先分段解决,再下结论。

5.函数的奇偶性

⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件;

⑵ 是奇函数;

⑶ 是偶函数;

⑷奇函数 在原点有定义,则 ;

⑸在关于原点对称的单调区间内:奇函数有相同的单调性,偶函数有相反的单调性;

(6)若所给函数的解析式较为复杂,应先等价变形,再判断其奇偶性;

6.函数的单调性

⑴单调性的定义:

① 在区间 上是增函数 当 时有 ;

② 在区间 上是减函数 当 时有 ;

⑵单调性的判定

1 定义法:

注意:一般要将式子 化为几个因式作积或作商的形式,以利于判断符号;

②导数法(见导数部分);

③复合函数法(见2 (2));

④图像法。

注:证明单调性主要用定义法和导数法。

7.函数的周期性

(1)周期性的定义:

对定义域内的任意 ,若有(其中 为非零常数),则称函数 为周期函数, 为它的一个周期。

所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明,遇到的周期都指最小正周

(2)三角函数的周期:

⑶函数周期的判定

①定义法(试值) ②图像法③公式法(利用(2)中结论)

⑷与周期有关的结论

8.基本初等函数的图像与性质

⑴幂函数:(;⑵指数函数: ;

⑶对数函数: ;⑷正弦函数: ;

⑸余弦函数:;(6)正切函数: ;⑺一元二次函数: ;

⑻其它常用函数:

① 正比例函数: ;②反比例函数:

9.二次函数:

⑴解析式:

①一般式: ;②顶点式: , 为顶点;

③零点式:。

⑵二次函数问题解决需考虑的因素:

①开口方向;②对称轴;③端点值;④与坐标轴交点;⑤判别式;⑥两根符号。

⑶二次函数问题解决方法:①数形结合;②分类讨论。

10.函数图象:

⑴图象作法 :①描点法 (特别注意三角函数的五点作图)②图象变换法③导数法 ⑵图象变换:

① 平移变换:ⅰ ———“正左负右”

ⅱ ———“正上负下”;

② 伸缩变换:

ⅰ , ( ———纵坐标不变,横坐标伸长为原来的 倍;

ⅱ , ( ———横坐标不变,纵坐标伸长为原来的 倍;

③ 对称变换:

④ 翻转变换:

ⅰ ———右不动,右向左翻( 在 左侧图象去掉);

ⅱ ———上不动,下向上翻(| |在 下面无图象);

11.函数图象(曲线)对称性的证明

(1)证明函数 图像的对称性,即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上;

(2)证明函数 与 图象的对称性,即证明 图象上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点在 的图象上,反之亦然;

注:

①曲线C1:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C2方程为:f(2a-x,2b-y)=0;

②曲线C1:f(x,y)=0关于直线x=a的对称曲线C2方程为:f(2a-x, y)=0;

③曲线C1:f(x,y)=0,关于y=x+a(或y=-x+a)的对称曲线C2的方程为f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);

④f(a+x)=f(b-x) (x∈R) y=f(x)图像关于直线x= 对称;

特别地:f(a+x)=f(a-x) (x∈R) y=f(x)图像关于直线x=a对称;

⑤函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x= 对称;

12.函数零点的求法:

⑴直接法(求 的根);⑵图象法;⑶二分法.

13.导数

⑴导数定义:f(x)在点x0处的导数记作 ;

⑵常见函数的导数公式: ①;② ;③ ;

④ ;⑤ ;⑥ ;⑦ ;⑧。

⑶导数的四则运算法则:

⑷(理科)复合函数的导数:

⑸导数的应用:

①利用导数求切线:注意:ⅰ所给点是切点吗?ⅱ所求的是“在”还是“过”该点的切线? ②利用导数判断函数单调性:

ⅰ是增函数;ⅱ为减函数;

ⅲ为常数;

③利用导数求极值:ⅰ求导数 ;ⅱ求方程 的根;ⅲ列表得极值。

④利用导数最大值与最小值:ⅰ求的极值;ⅱ求区间端点值(如果有);ⅲ得最值。

14.(理科)定积分

⑴定积分的定义:

⑵定积分的性质:

①( 常数);

② ;

③(其中 。

⑶微积分基本定理(牛顿—莱布尼兹公式):

⑷定积分的应用:①求曲边梯形的面积: ②求变速直线运动的路程:

;③求变力做功: 。

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