因式分解的小结与复习

因式分解的小结与复习 | 楼主 | 2017-11-02 08:04:30 共有3个回复
  1. 1因式分解的小结与复习
  2. 2第五课时因式分解小结与复习
  3. 3因式分解小结与复习

因式分解与整式乘法的区别和联系,如果多项式的各项有公因式那么先提公因式,公式法分解因式的依据是什么,常常先提公呃再用公式法进行因式分解,因式分解必须进行到每一个因式都不能再分解为此。

因式分解的小结与复习2017-11-02 08:03:13 | #1楼回目录

一、教学目的

1.使学生了解因式分解的意义及其与整式乘法的区别与联系。

2.使学生掌握提公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法这四种分解因式的基本方法,会用这些方法进行多项式的因式分解。

二、教学重点、难点

重点:因式分解的四种基本方法。

难点:因式分解的理论、方法和技巧。

三、教学过程

(一)复习提要

1.因式分解的意义

把一个多项化为几个整式的积的形式,叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式。

这一概念的特点是:

(1)多项式因式分解的结果一定是积的形式;

(2)每个因式必须是整式(单项式或多项式);

(3)各因式要分解到不能再分为止(本章,只在有理数范围内研究因式分解)。

2.因式分解与整式乘法的区别和联系

整式乘法是把几个整式相乘化为一个多项式,而因分解是把一个多项式化为几个整式相乘,也就是说,因式分解是整式乘法的逆变形,例如

整式乘法整式乘法

m(a+b-c)←───→ ma+ab-mc(a+b)(a-b) ←────→ a2-b2 因式分解 因式分解

整式乘法 整式乘法(a±b)2 ←───→ a2±2ab+b2 (a1x+c1)(a2x+c2)←────→ a1a2x+(a1c2+a2c1)x+c1c2

因式分解因式分解

知道了这种区别和联系,就可以

(1)明了因式分解的意义;

(2)把整式乘法的过程反过来得到因式分解的一些基本方法;

(3)利用整式乘法检验因式分解的结果是否正确。

3.因式分解的基本方法

(1)提公因式法:这是因式分解的基本方法,只要多项式各项有公因式,首先把它提出来。

(2)运用公式法:本章学习了五个公式。

平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b)

完全平方公式:a2±2ab+b2=(a±b)2

立方和(差公式:a3±b3=(a±b)(a2±ab+b2)

这里的a、b既可以是单项式,也可以是多项式。

(3)十字相乘法:用这种方法能把某些二次三项式ax2+bx+c分解因式。

ax2+bx+c=a1a2x2+(a1c2+a2c1)x+c1c2=(a1x+c1)·(a2x+c2)就是说:a分解成a1、a2;c分解成c1、c2,将a1,a2,c1,c2排列成

a1c1

a2 c2

若按斜线交叉相乘,再相加正好得a1c2+a2c1=b,则ax2+bx+c分解因式为(a1x+c1)(a2x+c2)。

(4)分组分解法:分组的原则是:把各项适当分组,先使因式分解能分组进行,再使因式分解能在各组之间进行,并且一直进行到底。

分组分解法的关键是要掌握几种方法(提公因式法、运用公式法或十字相乘法)后,能纵观全局,在分组时就预见到下一步因式分解的可能性。没有对前面三种方法的熟练掌握,分组分解就无从下手,不掌握分组的思想,前面学过的方法,用起来就会有很大的局限性。以上四种基本方法是彼此有联系的,并不是一个多项式就固定只能用一种方法分解因式。例如二次三项式x2+(a+b)x+ab可用分组分解法分解如下:

x2+(a+b)x+ab=x+ax+bx+ab

=x(x+a)+b(x+a)

=(x+a)(x+b).

又如a2-2ab+b是完全平方式,可以按十字相乘法分解,还可用分组分解法分解如下:

a2-2ab+b2=a2-ab-ab+b2

=a(a-b)-b(a-b)

=(a-b)(a-b)=(a-b)2

因此,应该学会具体问题具体分析,在研究具体问题的基础上,加以灵活运用。

4.因式分解的一般步骤

把一个多项式分解因式,一般可按下列步骤进行:

(1)如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式;

(2)如果各项没有公因式,那么可以尝试运用公式来分解;

(3)如果上述方法不能分解,那么可以尝试用分组或其它方法(如十字相乘法)来分解;

(4)分解因式,必须进行到每一个因式都不能再分解为止(本章只在有理数范围内研究因式分解)。

(二)复习题先讲

例1把下列各式分解因式:

(1)x4+64x;(2)(x2+4)2-16x2;(3)x5-x3+x2-1; (4)a4-5a2b2+4b4. 解:(1)x4+64x

=x(x3+43)

=x(x+4)(x2-4x+16).

(2)(x2+4)2-16x2

=(x2+4)2 -(4x)2

=(x2+4x+4)(x2-4x+4)

=(x+2)2(x-2)2.

(3)x5-x3+x2-1

=x3(x2-1)+(x2-1)

=(x2-1)(x3+1)

=(x+1)(x-1)(x+1)(x2-x+1)

=(x+1)2(x-1)(x2-x+1).

(4)a4-5a2b2+4b4 1-4

=(a2-b2)(a2-4b2)

=(a+b)(a-b)(a+2b)(a-2b). 1 -1

例2把下列各式分解因式:

(1)(a+b)2+2(a+b)-15;

(2)4b2c2-(b2+c2-a2)2;

(3)ab(c2+d2)+cd(a2+b2);

(4)(ax+by)2+(bx-ay)2

解:(1)(a+b)2+2(a+b)-15

=[(a+b)-3][(a+b)+5]

=(a+b-3)(a+b+5).

22222(2)4bc-(b+c-a)2

=(2bc)2-(b2+c2-a2)2

=(2bc+b2+c2-a2)(2bc-b2-c2+a2)

=[(b+c)2-a2][a2-(b-c)2]

=(b+c+a)(b+c-a)(a+b-c)(a-b+c)

=(a+b+c)(-a+b+c)(a+b-c)(a-b+c).

(3)ab(c2+d2)+cd(a2+b2)

=abc2+abd2+a2cd+b2cd

=(abc2+a2cd)+(abd2+b2cd)

=ac(bc+ad)+bd(ad+bc)

=(bc+ad)(ac+bd).

(4)(ax+by)2+(bx-ay)2

=a2x2+b2y2+b2x2+a2y2

=a2(x2+y2)+b2(x2+y2)

=(x2+y2)(a2+b2).

例3已知n是整数,求证:

(1)两个连续奇数的平方差(2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数;

(2)两个连续整数的平方差(n+1)2-n2等于这两个连续整数的和。

证明:(1)(2n+1)2-(2n-1)2

=[(2n+1)+(2n-1)][(2n+1)-(2n-1)]

=8n.

因为n是整数,故8n是8的倍数,即原命题得证。

(2)(n+1)2-n2

=[(n+1)+n][(n+1)-n]

=n+1+n.

因为n是整数,故n,n+1是两个连续整数,即原命题得证。

例4 如图1-2,水压机有四根空心钢立柱。每根的高h都是18米,外径D为1米,内

径d为0.4米,每产方米钢的重量

为7.8吨。求四根立柱的总重量。(π取3.14,结果保留两个有效数字)。

解:设四根立柱总重量为w吨,则

w=4×7.8×π/4(D2-d2)h

=7.8π(D+d)(D-d)h

=7.8×3.14×1.4×0.6×18

=3.7×102(吨)

答:四根立柱总重量约3.7×102吨。

课时安排:本课题约需3课时,安排如下:

第一课时

内容:复习提要。

练习:复习题八、16。

作业:复习题八、17(1)、(4),18(2)~(6)。

第二课时

内容:复习题选讲例1,例2。

练习:复习题八、17(2)、(5),19(1)、(2)。

作业:复习题八、17(6)~(9),18(8)、(9)。

第三课时

内容:复习题选讲,例3,例4。

练习:复习题八、19(3)、(5),20(1)、(2)、(4)、(5)。

作业:复习题八、20(6)、(8)。B组3、6。

四、需要注意的几个问题

(1)什么时候用整式乘法,什么时候用因式分解,是根据需要而决定的,如复习题选讲中的例2(3)(4)。是先做整式乘法,后因式分解。又如计算(x+a)2-(x-a)2时,通常不是按运算顺序先做整式乘法,而是先进行因式分解,得

(x+a)2-(x-a)2

=[(x+a)+(x-a)][(x+a)-(x-a)]

=2x·2a=4ax。

(2)本章所说的因式分解,都是在有理数范围内进行的,要求因式中每个系数(包括常数项)都是有理数,并且分解到不能再分为止。

(3)多项式因式分解的理论问题较深,题目类型多,方法灵活,技巧性强,教学时一定要控制题目难度,要按照学习要求进行教学,防止有些学生因为这部分内容难以学习而产生畏惧情绪,但也要注意因材施教,利用教材的“弹性”内容,激发和指导好对这部分内容感兴趣的学生。

第五课时因式分解小结与复习2017-11-02 08:04:02 | #2楼回目录

第五课时

教学内容:

小结与复习(P19)

教学目标

回顾思考本章内容,进一步了解因式分解的意义和因式分解的方法,同时掌握因式分解的基本要求,并会对简单的多项式进行分解。

教学重点和难点

教学重点:梳理所学内容,形成知识间的联系。

教学难点:形成因式分解的一般理论,会对多项式熟练地进行因式分解。

教学手段

幻灯片。

教学过程

一、知识回顾

(出示投影1)

思考:

1、举例说明什么是因式分解?

2、如何确定多项式中各项的公因式?

3、公式法分解因式的依据是什么?

4、因式分解的一般步骤与要求是什么?分解时应注意些什么事项?

针对以上问题,让学生逐个思考,并与同伴展开充充分分讨论,老师针对讨论情况补充归纳。

二、归纳知识

(出示投影2)

1、提公因式法的关键是找出各项的公因式,步骤如下: ①、公因式的系数,如果多项式的系数是整数,则取各项系的绝对值的最大公因数作为公因数,如果原灭多项式的第一项系数为负则把负号提出,此时括号内的各项要变号。

②、公因式含的字母是各项中相同的字母,字母的指数取各项中次数最低的。

③、公因式含的式子是各项中相同的式子,该式子的指数取各项中次数最低的。

2、公式法分解因式,可依据平方差、完全平方公式从右到左地使用,就可以把某些多项式因式分解。即按公式a-b =(a+b) (a-b)和a ± 2ab+b =(a±b) 进行。 3、因式分解的步骤及要求:

①、常常先提公呃再用公式法进行因式分解;

②、因式分解一定要进行到每一个因式不能再分为此;

③、多项式因式分解结果中常用小括号括号出现,因式不含中括号;

④、多项式第一项为负数系数常先提出负号使分解后一因式的第一项系数为正。

4、因式分解必须进行到每一个因式都不能再分解为此。

三、深化知识

(出示投影3)

例1、分解因式1-a-b+2ab。

(出示投影4)

例2、已知a、b、c是ΔABC的三边长,且满足a+b+

c-ab-bc-ac,试判断ΔABC的形状。

四、随堂练习

P20A组第1题。

五、课堂小结

本节课复习了本章内容,要求同学们回顾学习中存在的问题及收获,认真总结,逐步提高因式分解等数学能力。主要巩固了非负数的应用及平面直角坐标系中点的坐标等知识,要求灵活运用所学知识解决问题。

六、布置作业

P20A组练习第2题。

因式分解小结与复习2017-11-02 08:02:27 | #3楼回目录

主备人:杨树华授课班级:138班

参与备课人:罗海建、唐思梁、吴小珍、杨焕良

分层目标

A层:能正确记忆公式,会正确运用公式进行简单因式分解;

B层:理解多项式中如果有公因式要先提公因式,了解实数范围内与有理数范围内分解因式的区别。

C层:培养逆向思维与解决问题的能力。

重点与难点

重点:记住公式

难点:正确运用公式法进行简单因式分解

教学过程:

一、引入:在整式的变形中,有时需要将一个多项式写成几个 整式的乘积的形式,这种变形就是因式分解.什么叫因式分解?

二、知识详解

知识点1因式分解的定义

分解因式.

【说明】 (1)因式分解与整式乘法是相反方向的变形.

例如:

(2)因式分解是恒等变形,因此可以用整式乘法来检验.

怎样把一个多项式分解因式?

知识点2提公因式法

多项式ma+mb+mc中的各项都 有一个公共的因式m,我们把因式m叫做这个多项式的公因式.ma+mb+mc=m(a+b+c)就是把ma+mb+mc分解成两个因式乘积的形式,其中一个因式是 各项的公因式m,另一个因式(a+b+c)是ma+mb+mc除以m所得的商, 像这种分解因式的方法叫做提公因式法.例如:x2-x=x(x-1),8a2b-4ab+2a=2a(4ab-2b+1). 探究交流

A层:下列变形是否是因式分解?为什么?

(1)3x2y-xy+y= y(3x2-x);(2)x2-2x+3=(x-1)2+2;

(3)x2y2+2xy-1=(xy+1)(xy-1);(4)xn( x2-x+1)=xn+2-xn+1+xn.

典例剖析 师生互动

A层: 用提公因式法将下列各式因式分解.

(1) -x3z+x4y;(2) 3x(a-b)+2y(b-a);

小结:运用提公因式法分解因式时,要注意下列问题:

(1)因式分解的结果每个括号内如有同类项要合并,而且每个括号内 不能再分解.

(2)如果出现像(2)小题需统一时,首先统一,尽可能使统一的个数少。这时注意到

(a-b)n=(b-a)n(n为偶数).

(3)因式分解最后如果有同底数幂,要写成幂的形式.

学生做一做把下列各式分解因式.

A层:(1) (2a+b) (2a-3b)+(2a+5b)(2a+b) ;(2) 4p(1-q)3+2(q-1)2

知识点3公式法

(1)平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b).即两个 数的平方差,等于这两个数的和与这个数的差的积.例如:4x2-9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3).

(2)完全平方公式:a2±2ab+b2=(a ±b)2.其中,a2±2ab+b2叫做完全平方式.即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍,等于这两个数的和(或差)的平方.例如:4x2-12xy+9y2=(2x)2-22x3y+(3y)2=(2x-3y)2.

探究交流

A层:下列变形是否正确?为什么?

(1)x2-3y2=(x+3y)(x-3y); (2)4x2-6xy+9y2=(2x-3y)2;(3)x2-2x-1=(x-1)2.

A层:把下列各式分解因式.

(1) (a+b)2-4a2;(2)1-10x+25x2; ( 3) (m+n)2-6(m+n)+9.

B层:学生做一做把下列各式分解因式.

(1)(x2+4)2-2(x2+4)+1; (2) (x+y)2 -4(x+y-1).

综合运用

B层:分解因式.

(1)x3-2x2+x;(2) x2(x-y)+y2(y-x);

小结解因式分解题时,首先考虑是否有公因式,如果有,先提公因式;如果没有公因式是两项,则考虑能否用平方差公式分解因式. 是三项式考虑用完全平方式,最后,直到每一个因式都不能再分解为止.

探索与创新题

B层: 若9x2+kxy+36y2是完全平方式,则k= .

三、学生做一做A层: 若x2+(k+3)x+9是完全平方式,则k=.

四、课堂小结

用提公因式法和公式法分解因式,会运用因式分解解决计算问题.

各项有"公"先提"公",首项有负常提负,某项提出莫漏"1",括号里面分到"底"。 自我评价知识巩固

A层:1.若x2+2(m-3)x+16是完 全平方式,则m的值等于()

A.3B.-5 C.7. D.7或-1

B层:2.若(2x)n-81=(4x2+9)(2x+3)(2x-3),则n的值是()

A.2 B.4C.6D.8

A层:3.分解因式:4x2-9y2=.

B层:4.已知x-y=1,xy=2,求x3y-2x2y2+xy3的值.

C层:5.把多项式1-x2+2xy-y2分解因式C层:6.分解因式(x4+x2-4)(x4+x2+3)+10.

回复帖子
标题:
内容:
相关话题